题目

如图，已知矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点E为CD边上的一个动点，连结AE、BE，以AE为直径作圆，交AB于点F，过点F作FH⊥BE于H，直线FH交⊙O于点G．【小题1】求证：⊙O必经过点D；【小题2】若点E运动到CD的中点，试证明：此时FH为⊙O的切线；【小题3】当点E运动到某处时，AE∥FH，求此时GF的长． 答案：【小题1】见解析【小题2】见解析【小题3】解析:（1）证明：∵矩形ABCD中，∠ADC=90°，且O为AE中点，∴OD=AE，……2’∴点D在⊙O上．（2）证明：如图，连结OF、EF．易证AFED为矩形，∴AF=DE．∵E为CD的中点，∴F为AB的中点．·········· 3’∴OF为△ABE的中位线，∴OF∥EB．············· 4’∵FH⊥EB，∴OF⊥FH．········ 5’∴FH为⊙O的切线．（3）解：作OM⊥FG，连结OF．∵AE∥FH，∴∠AEB=90°．易证△ADE∽△ECB，由相似得：DE=2或8．①当DE=2时，如图，AF=2，FB=8，EB=4，AE=2．       6’由△BFH∽△BAE得，HB=，∴OM=EH=．∴FG=2FM=．       7’②当DE=8时，如图，同上解法，可得OG=AE=2．· 8’OM=EH=．∴FG=2GM=

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