题目

已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点． （1）求证：BM=CM； （2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论； （3）当AD：AB=__________时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）． 答案：       （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠D=90°，AB=DC， ∵M是AD的中点， ∴AM=DM， 在△ABM和△DCM中，， ∴△ABM≌△DCM（SAS）， ∴BM=CM； （2）解：四边形MENF是菱形；理由如下： ∵E、N、F分别是线段BM、BC、CM的中点， ∴EN是△BCM的中位线， ∴EN=CM=FM，EN∥FM， ∴四边形MENF是平行四边形， 同理：NF是△BCM的中位线， ∴NF=BM， ∵BM=CM， ∴EN=NF， ∴四边形MENF是菱形； （3）解：当AD：AB=2：1时，四边形MENF是正方形；理由如下： ∵AD：AB=2：1，M是AD的中点， ∴AB=AM， ∴△ABM是等腰直角三角形， ∴∠AMB=45°， 同理：∠DMC=45°， ∴∠EMF=180°﹣45°﹣45°=90°， 由（2）得：四边形MENF是菱形， ∴四边形MENF是正方形； 故答案为：2：1．

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