题目

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C (0，4)，顶点为（1，）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的对称轴与轴交于点D，试在对称轴上找出点P，使△CDP为等腰三角形，请直接写出满足条件的所有点P的坐标． （3）若点E是线段AB上的一个动点（与A、B不重合），分别连接AC、BC，过点E作EF∥AC交线段BC于点F，连接CE，记△CEF的面积为S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此时E点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：（1）∵抛物线的顶点为（1，） ∴设抛物线的函数关系式为y＝a ( x－1) 2＋        ……………2分 ∵抛物线与y轴交于点C (0，4)， ∴a (0－1) 2＋＝4，解得a＝－ ∴所求抛物线的函数关系式为y＝－( x－1) 2＋     ………4分 （2）解：P1 (1，)，P2 (1，－)， P3 (1，8)，P4 (1，)，   …8分 （3）解：令－( x－1) 2＋＝0，解得x1＝－2，x1＝4 ∴抛物线y＝－( x－1) 2＋与x轴的交点为A (－2，0)  C (4，0)……9分 过点F作FM⊥OB于点M， ∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴＝ 又∵OC＝4，AB＝6，∴MF＝×OC＝EB 设E点坐标为 (x，0)，则EB＝4－x，MF＝ (4－x)     …10分 ∴S＝S△BCE－S△BEF＝ EB·OC－ EB·MF ＝ EB(OC－MF)＝ (4－x)[4－ (4－x)]＝－x2＋x＋＝－( x－1) 2＋3 ∵a＝－＜0，∴S有最大值 当x＝1时，S最大值＝3       …11分 此时点E的坐标为 (1，0)                  …12分

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