题目

如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C． （1）当动点P与点B重合时，若点B的坐标是（2，1），求PA的长． （2）当动点P在线段OB的延长线上时，若点A的纵坐标与点B的横坐标相等，求PA：PC的值． （3）当动点P在直线OB上时，点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，求PA：PC的值． 答案：解：（1）∵点P与点B重合，点B的坐标是（2，1）， ∴点P的坐标是（2，1）． ∴PA的长为2． （2）过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N，如图1所示． ∵点A的纵坐标与点B的横坐标相等， ∴OA=AB． ∵∠OAB=90°， ∴∠AOB=∠ABO=45°． ∵∠AOC=90°， ∴∠POC=45°． ∵PM⊥x轴，PN⊥y轴， ∴PM=PN，∠ANP=∠CMP=90°． ∴∠NPM=90°． ∵∠APC=90°． ∴∠APN=90°﹣∠APM=∠CPM． 在△ANP和△CMP中， ∵∠APN=∠CPM，PN=PM，∠ANP=∠CMP， ∴△ANP≌△CMP． ∴PA=PC． ∴PA：PC的值为1：1． （3）①若点P在线段OB的延长线上， 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N， PM与直线AC的交点为F，如图2所示． ∵∠APN=∠CPM，∠ANP=∠CMP， ∴△ANP∽△CMP． ∴． ∵∠ACE=∠AEC， ∴AC=AE． ∵AP⊥PC， ∴EP=CP． ∵PM∥y轴， ∴AF=CF，OM=CM． ∴FM=OA． 设OA=x， ∵PF∥OA， ∴△PDF∽△ODA． ∴ ∵PD=2OD， ∴PF=2OA=2x，FM=x． ∴PM=x． ∵∠APC=90°，AF=CF， ∴AC=2PF=4x． ∵∠AOC=90°， ∴OC=x． ∵∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°， ∴四边形PMON是矩形． ∴PN=OM=x． ∴PA：PC=PN：PM=x：x=． ②若点P在线段OB的反向延长线上， 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，过点P作PN⊥y轴，垂足为N， PM与直线AC的交点为F，如图3所示． 同理可得：PM=x，CA=2PF=4x，OC=x． ∴PN=OM=OC=x． ∴PA：PC=PN：PM=x：x=． 综上所述：PA：PC的值为或．

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