题目

（08年山东卷理）(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.（Ⅰ）证明：AE⊥PD; （Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E―AF―C的余弦值.  答案：【解析】（Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.    又BC∥AD，因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.而PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.所以 AE⊥PD.（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.在Rt△EAH中，AE=，所以 当AH最短时，∠EHA最大，即 当AH⊥PD时，∠EHA最大.此时tan∠EHA=因此AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，所以 PA=2.解法一：因为PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，        所以平面PAC⊥平面ABCD.        过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，        过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，       在Rt△AOE中，EO=AE・sin30°=，AO=AE・cos30°=,       又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO・sin45°=,       又        在Rt△ESO中，cos∠ESO=       即所求二面角的余弦值为解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），所以 设平面AEF的一法向量为则因此取因为 BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以 BD⊥平面AFC，故 为平面AFC的一法向量.又 =（-），所以 cos＜m, 因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为

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