题目

（本小题满分14分） 已知函数在 处取到极值2． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）试研究曲线的所有切线与直线垂直的条数； （Ⅲ）若对任意，均存在，使得，试求的取值范围． 答案：本题主要考查函数与导数的基本性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想、分类与整合思想和化归与转化思想.满分14分. 解法一：（Ⅰ），                  ……………1分 根据题意得解得．                 ……………2分 经检验在处取到极值2． ∴.                                        ……………3分 （Ⅱ）即，，… 5分 当，即或时，满足条件的切线有2条， 当，即时，满足条件的切线有1条， 当，即时，满足条件的切线不存在．        ……………8分 （Ⅲ）根据题意可知，                  ……………9分 令，得， 当时，；当时，， 所以函数的递减区间为，递增区间为， 故函数在处取得最小值．………11分 由（Ⅰ）得，， 解得或． 当且，即时，函数在单调递增，所以,得；所以且， 当即时，函数在单调递减，在单调递增，所以，得，所以 当即时，函数在单调递减，所以，得，故此时不满足题意． 综上，且．                            ……………14分 解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一； （Ⅲ）根据题意可知，                  ……………9分 令，得， 当时，；当时，， 所以函数的递减区间为，递增区间为， 故函数在处取得最小值．………11分 在恒成立， 即在恒成立. 设，， 由得，由得. ∴函数在单调递增，在单调递减， ∴函数， ∴且．                                ……………14分

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