题目

如图α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,点A在直线l上的射影为A1，点B在l上的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求： （1）直线AB分别与平面α,β所成角的大小；（2）二面角A1—AB—B1的大小. 答案：解法一：（1）如下图，连结A1B、AB1.∵α⊥β,α∩β=l,AA1⊥l,BB1⊥l,∴AA1⊥β,BB1⊥l,则∠BAB1、∠ABA1分别是AB与α和β所成的角.Rt△BB1A中，BB1=，AB=2.∴sin∠BAB1==,∴∠BAB1=45°.Rt△AA1B中，AA1=1，AB=2.∴sin∠ABA1==，∴∠ABA1=30°.故AB与平面α,β所成的角分别是45°,30°.(2)∵BB1⊥α,∴平面ABB1⊥α,在平面α内过Α1，作A1E⊥AB1，交AB1于E，则A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则由三垂线定理得A1F⊥AB.∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.在Rt△ABB1中 ,∠BAB1=45°,∴AB1=B1B=.∴Rt△AA1B1中,AA1=A1B1=1.∴A1E=AB1=.在Rt△AA1B中，==.由AA1·A1B=A1F·AB得A1F===,∴在Rt△A1EF中，sin∠A1FE==.∴二面角A1—AB—B1的大小为arcsin.解法二：（1）同解法一. (2)如右图，建立坐标系，则A1（0，0，0），A（0，0，1），B1（0，1，0），B（2，1，0）.在AB上取一点F（x,y，z），则存在t∈R,使得=t.即（x,y,z-1）=t(,1,-1),∴点F的坐标为（t,t,1-t）.要使⊥，须·=0，即（t,t,1-t）·（，1，-1）=0，2t+t-(1-t)=0,解得t=,∴点F的坐标为（，，）.∴=(,  , ).设E为AB1的中点，则点E的坐标为（0，，）.∴=(,-,).又EF·AB=（，-，）·（，1，-1）=--=0，∴EF⊥AB.∴∠A1FE为所求二面角的平面角.又cos∠A1FE=====.∴二面角A1—AB—B1的大小为arccos.

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