题目

若无穷数列满足：①对任意，；②存在常数，对任意，，则称数列为“数列”.     （Ⅰ）若数列的通项为，证明：数列为“数列”；     （Ⅱ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：对任意，； （Ⅲ）若数列的各项均为正整数，且数列为“数列”，证明：存在 ，数列为等差数列. 答案：  （Ⅰ）证明：由，可得，， 所以， 所以对任意，． 又数列为递减数列，所以对任意，． 所以数列为“数列”． （Ⅱ）证明：假设存在正整数，使得． 由数列的各项均为正整数，可得． 由，可得． 且． 同理， 依此类推，可得，对任意，有． 因为为正整数，设，则. 　　　在中，设，则． 与数列的各项均为正整数矛盾． 所以，对任意，. （Ⅲ）因为数列为“数列”， 所以，存在常数，对任意，． 设． 由（Ⅱ）可知，对任意，， 则． 若，则；若，则． 而时，有． 所以，，，…，，…，中最多有个大于或等于， 否则与矛盾． 所以，存在，对任意的，有． 所以，对任意， ． 所以，存在 ，数列为等差数列.

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