题目

如图，椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于，两点．当直线经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为． （Ⅰ）求该椭圆的离心率； （Ⅱ）设线段的中点为，的中垂线与轴和轴分别交于两点, 记△的面积为，△（为原点）的面积为，求的取值范围．   答案：（Ⅰ）解：依题意，当直线经过椭圆的顶点时，其倾斜角为………1分 则 ．                                       …………2分 将  代入 ， 解得 ．                                                 ………3分 所以椭圆的离心率为 ．                                 …………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为．              …………5分 设，． 依题意，直线不能与轴垂直，故设直线的方程为，将其代入 得 ．        …………7分 则 ，， ．                                   ………………8分 因为 ， 所以 ，．                   ………………9分 因为 △∽△， 所以                ………11分 ．          ………………13分 所以的取值范围是． 

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