题目

某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费． （1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：度）的函数解析式； （2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求a，b的值； （3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望． 答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）利用分段函数的性质即可得出． （2）利用（1），结合频率分布直方图的性质即可得出． （3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．结合频率分布直方图的性质即可得出． 【解答】解：（1）当0≤x≤200时，y=0.5x； 当200＜x≤400时，y=0.5×200+0.8×（x﹣200）=0.8x﹣60， 当x＞400时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×（x﹣400）=x﹣140， 所以y与x之间的函数解析式为：y=． （2）由（1）可知：当y=260时，x=400，则P（x≤400）=0.80， 结合频率分布直方图可知：0.1+2×100b+0.3=0.8，100a+0.05=0.2， ∴a=0.0015，b=0.0020． （3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550． 当x=50时，y=0.5×50=25，∴P（y=25）=0.1， 当x=150时，y=0.5×150=75，∴P（y=75）=0.2， 当x=250时，y=0.5×200+0.8×50=140，∴P（y=140）=0.3， 当x=350时，y=0.5×200+0.8×150=220，∴P（y=220）=0.2， 当x=450时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310，∴P（y=310）=0.15， 当x=550时，y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410，∴P（y=410）=0.05． 故Y的概率分布列为： Y 25 75 140 220 310 410 P 0.1 0.2 0.3 0.2 0.15 0.05 所以随机变量Y的数学期望 EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5． 【点评】本题考查了分段函数的性质、频率分布直方图的性质、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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