题目

（08年湖北卷文）（本小题满分12分）   如图，在直三棱柱中，平面侧面  （Ⅰ）求证：   （Ⅱ）若，直线AC与平面所成的角为，二面角 答案：(Ⅰ)证明：如图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B，得AD⊥平面A1BC.又BC平面A1BC所以AD⊥BC.因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱,则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC.又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1,又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC.  (Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1就是二面角A1－BC－A的颊角，即∠ACD＝θ，∠ABA1=.      于是在RtΔADC中，sinθ=,在RtΔADA1中，sin∠AA1D＝,      ∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角，所以θ＝∠AA1D.      又由RtΔA1AB知，∠AA1D＋＝∠AA1B＋＝，故θ＋＝.      证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设AB=c（c＜a＝，则B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),A1(0,c,a)，于是，＝（0，c,a）,c,a设平面A1BC的一个法向量为n=(x,y,z),则由可取n＝（0，－a，c），于是n・=ac＞0，与n的夹角为锐角,则与互为余角sin=cos=,cos=所以sin=cos=sin(),又0＜，＜，所以+=.【试题解析】第（1）问证明线线垂直，一般先证线面垂直，再由线面垂直得线线垂直；第（2）问若用传统方法一般来说要先作垂直，进而得直角三角形。若用向量方法，关键在求法向量。【高考考点】本题主要考查直棱柱、直线与平面所成的角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力。【易错提醒】要牢记面面角，线面角的范围，特别是用向量法求二面角的时候要注意所要求的角与向量夹角的关系。【备考提示】立体几何中的垂直、平行，角与距离是高中数学的重要内容，应该熟练掌握。

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