题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2． （1）求椭圆C的标准方程； （2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论． 答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题． 【分析】，（1）设，由于直线PQ斜率为时，，可得，解得，代入椭圆方程可得：，又，联立解得即可． （2）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程可得．由直线PA方程为：，可得，同理由直线QA方程可得，可得以MN为直径的圆为，由于，代入整理即可得出． 【解答】解：（1）设， ∵直线PQ斜率为时，， ∴， ∴， =1， ∴， ∵，化为a2=2b2． 联立， ∴a2=4，b2=2． ∴椭圆C的标准方程为． （2）以MN为直径的圆过定点．下面给出证明： 设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即， ∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：， ∴， 直线QA方程为：， ∴， 以MN为直径的圆为， 即， ∵， ∴， 令y=0，x2+y2﹣2=0，解得， ∴以MN为直径的圆过定点． 【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与椭圆的位置关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

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