题目

如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=a． （1）求证：MN∥平面PAD； （2）求证：平面PMC⊥平面PCD． 　 答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质． 【专题】证明题． 【分析】（1）欲证MN∥平面PAD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面PAD内一直线平行即可，设PD的中点为E，连接AE、NE，易证AMNE是平行四边形，则MN∥AE，而AE⊂平面PAD，NM⊄平面PAD，满足定理所需条件； （2）欲证平面PMC⊥平面PCD，根据面面垂直的判定定理可知在平面PMC内一直线与平面PCD垂直，而AE⊥PD，CD⊥AE，PD∩CD=D，根据线面垂直的判定定理可知AE⊥平面PCD，而MN∥AE，则MN⊥平面PCD，又MN⊂平面PMC，满足定理所需条件． 【解答】证明：（1）设PD的中点为E，连接AE、NE， 由N为PC的中点知ENDC， 又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB 又M是AB的中点，∴ENAM， ∴AMNE是平行四边形 ∴MN∥AE，而AE⊂平面PAD，NM⊄平面PAD ∴MN∥平面PAD 证明：（2）∵PA=AD，∴AE⊥PD， 又∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD ∴CD⊥AE，∵PD∩CD=D，∴AE⊥平面PCD， ∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD， 又MN⊂平面PMC， ∴平面PMC⊥平面PCD． 【点评】本题主要考查平面与平面垂直的判定，以及线面平行的判定，同时考查了空间想象能力和推理能力，以及转化与划归的思想，属于基础题． 　

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