题目

已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（﹣2，3）． （1）求椭圆C的方程； （2）过椭圆C的右焦点作两条相互垂直的直线l，m，且直线l交椭圆C于M、N两点，直线m交椭圆C于P、Q两点，求|MN|+|PQ|的最小值． 答案：【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程． 【分析】（1）由椭圆的离心率为，且过点（﹣2，3），列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程． （2）椭圆C的右焦点F1（2，0），当直线l，m中有一条直线的斜率不存在时，|MN|+|PQ|=14，当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=k（x﹣2），联立方程，得，整理，得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0，由弦长公式求出|MN|=，设直线m的方程为y=﹣，同理得|PQ|=，由此利用换元法能求出|MN|+|PQ|的最小值． 【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（﹣2，3）， ∴，解得a2=16，b2=12，c2=4， ∴椭圆C的方程为． （2）由（1）知椭圆C的右焦点F1（2，0）， 当直线l，m中有一条直线的斜率不存在时，|MN|+|PQ|=6+8=14， 当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2）， 联立方程，得，整理，得：（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0， ，， ∴|MN|=•= 设直线m的方程为y=﹣，同理得|PQ|=， ∴|MN|+|PQ|=+=， 设t=k2+1，则t＞1， ∴|MN|+|PQ|=， ∵t＞1，∴0＜， ∴|MN|+|PQ|的最小值为．

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