题目

抛物线y=ax2+c与x轴交于A,B两点,顶点C,点P为抛物线上一点,且位于x轴下方. (1)如图1,若P(1,﹣3),B(4,0).D是抛物线上一点,满足∠DPO=∠POB,且D与B分布位于直线OP的两侧,求点C与点D的坐标; (2)如图2,A,B是抛物线y=ax2+c与x轴的两个交点,直线PA,PB与y轴分别交于E,F两点,当点P在x轴下方的抛物线上运动时,是否为定值?若是,试求出该定值;若不是,请说明理由(记OA=OB=t)   答案:【考点】HF:二次函数综合题. 【分析】(1)根据待定系数法求函数解析式,可得答案;根据平行线的判定,可得PD∥OB,根据函数值相等两点关于对称轴对称,可得D点坐标; (2)根据待定系数法,可得E、F点的坐标,根据分式的性质,可得答案. 【解答】解:(1)将P(1,﹣3),B(4,0)代入y=ax2+c,得 , 解得, 抛物线的解析式为y=x2﹣. ∴C(0,﹣) 如图1, 当点D在OP左侧时, 由∠DPO=∠POB,得 DP∥OB, D与P关于y轴对称,P(1,﹣3), 得D(﹣1,﹣3); (2)点P运动时,是定值,定值为2,理由如下: 作PQ⊥AB于Q点,设P(m,am2+c),A(﹣t,0),B(t,0),则at2+c=0,c=﹣at2. ∵PQ∥OF, ∴=, ∴OF==﹣==amt+at2. 同理OE=﹣amt+at2. ∴OE+OF=2at2=﹣2c=2OC. ∴=2. 【点评】本题考查了二次函数综合题,①利用待定系数法求函数解析式;②利用函数值相等的点关于对称轴对称得出D点坐标是解题关键;(2)利用待定系数法求出E、F点坐标是解题关键.
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