题目

如图，已知四边形和都是菱形，平面平面，且，. （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求二面角的余弦值.   答案：（Ⅰ）证明：取AA1的中点为O，连结OB、OC1 ， ∵四边形AA1C1C和AA1B1B都是菱形，且∠ACC1=∠BAA1=60°， ∴三角形AA1B和三角形AA1C1都是等边三角形， ∴OB⊥AA1 ，OC1⊥AA1 ， 又∵OB∩OC1=O， ∴AA1⊥平面OBC1， 又∵BC1平面OBC1， 所以AA1⊥BC1；                 ……………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知OB⊥AA1， 又∵且交于AA1，OB ∴OB⊥平面AA1C1C， ∴OB⊥OC1， ∴OA1，OC1，OB，三条直线两两垂直， ……………………………………6分 以O为坐标原点，以OA1，OC1，OB为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则,,，……………………………………7分 ∴,, 设平面ABC，ABC1的法向量,坐标分别为（a，b，c），（a1，b1，c1）， 由,，可得， 所以可取，          ……………………………………………9分 同理可取，        ……………………………………………10分 ∴，              ……………………………………………11分 又二面角的平面角为锐角， 所以二面角C-AB-C1的余弦值为．   ……………………………………………12分

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