题目

对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足： ①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是， 则称是该函数的“优美区间”． （1）求证：是函数的一个“优美区间”． （2）求证：函数不存在“优美区间”． （3）已知函数（）有“优美区间”，当变化时，求出的最大值． 答案：解：（1）在区间上单调递增．分 又，，值域为， 区间是的一个“优美区间”.分 （2）设是已知函数定义域的子集．，或，函数在上单调递减．分 若是已知函数的“优美区间”，则分 由得， 代入等式不成立，函数不存在优美区间. 分 （3）设是已知函数定义域的子集．，或，函数在上单调递增．分 若是已知函数的“优美区间”，则   分   、是方程，即的两个同号且不等的实数根． ，，同号，只须， 即或分 ，分 当时，取最大值.分

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