题目

设是数的任意一个全排列，定义，其中. （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）求的最大值； （Ⅲ）求使达到最大值的所有排列的个数. 答案：解：（Ⅰ）. （Ⅱ）数的倍与倍分别如下： 其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为，所以. 对于排列，此时， 所以的最大值为. （Ⅲ）由于数所产生的个数都是较小的数，而数所产生的个数都是较大的数，所以使取最大值的排列中，必须保证数互不相邻，数也互不相邻；而数和既不能排在之一的后面，又不能排在之一的前面.设，并参照下面的符号排列△○□△○□△○□△○ 其中任意填入个□中，有种不同的填法；任意填入个圆圈○中，共有种不同的填法；填入个△之一中，有种不同的填法；填入个△中，且当与在同一个△时，既可以在之前又可在之后，共有种不同的填法，所以当时，使达到最大值的所有排列的个数为，由轮换性知，使达到最大值的所有排列的个数为.

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