题目

如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC＝CE，连接AE交BC于点D，延长DC至F点，使CF＝CD，连接AF． （1）判断直线AF与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）若AC＝10，tan∠CAE＝，求AE的长． 答案：解：（1）直线AF是⊙O的切线，理由是：连接AC， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， ∵CF＝CD， ∴∠CAF＝∠EAC， ∵AC＝CE， ∴∠E＝∠EAC， ∵∠B＝∠E， ∴∠B＝∠FAC， ∵∠B+∠BAC＝90°， ∴∠FAC+∠BAC＝90°， ∴OA⊥AF， 又∵点A在⊙O上， ∴直线AF是⊙O的切线； （2）过点C作CM⊥AE， ∵tan∠CAE＝， ∴＝， ∵AC＝10， ∴设CM＝3x，则AM＝4x， 在Rt△ACM中，根据勾股定理，CM2+AM2＝AC2， ∴（3x）2+（4x）2＝100， 解得x＝2， ∴AM＝8， ∵AC＝CE， ∴AE＝2AE＝2×8＝16．

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