题目

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°．点D为△ABC内一点，且DB=DC，∠DCB=30°，点E为BD延长线上一点，且AE=AB．（1）求∠ADE的度数；（2）若点M在DE上，且DM=DA，求证：ME=DC．   答案：（1）如图4．∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，∴∠ABC=∠ACB==75°．∵DB=DC，∠DCB=30°，∴∠DBC=∠DCB=30°．∴∠1=∠ABC－∠DBC=75°－30°=45°．∵AB=AC，DB=DC，∴AD所在直线垂直平分BC．∴AD平分∠BAC．∴∠2=∠BAC==15°． ∴∠ADE=∠1＋∠2 =45°＋15°=60°．   证明：（2）证法一：取BE的中点N，连接AN．（如图5）∵△ADM中，DM=DA，∠ADE=60°，∴△ADM为等边三角形．  ∵△ABE中，AB=AE，N为BE的中点，∴BN=NE，且AN⊥BE．∴DN=NM．  ∴BN－DN =NE－NM，即 BD=ME．∵DB=DC，∴ME = DC． 证法二：如图6．∵△ADM中，DM=DA，∠ADE =60°，∴△ADM为等边三角形． ∴∠3=60°．∵AE=AB，∴∠E=∠1=45°．∴∠4=∠3－∠E=60°－45°=15°．∴∠2=∠4．在△ABD和△AEM中，∴△ABD≌△AEM． ∴BD =EM．∵DB = DC，∴ME = DC．  解析:此题考查了三角形的性质 

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