题目

在等腰中，，点D，E在射线上，，过点E作，交射线于点F．请解答下列问题：   （1）当点E在线段上，是的角平分线时，如图①，求证：；（提示：延长，交于点M．） （2）当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，如图②；当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，如图③，请直接写出线段，，之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）、（2）的条件下，若，则___________． 答案：（1）见解析；（2）BC=AE+CF或AE=CF+BC；（3）18或6． 【解析】（1）延长，交于点M．利用AAS证明，得到ME=BC，并利用角平分线加平行的模型证明CF=MF，AE=EF，从而得证； （2）延长，EF交于点M．类似于（1）的方法可证明当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，BC=AE+CF，当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，AE=CF+BC； （3）先求出AE，AB，即可利用线段的和差求出答案． 【详解】（1）如图①，延长，交于点M． ∵， ∴∠A=∠BCA=∠EFA， ∴AE=EF ∴ ∴∠MED=∠B， ∠M=∠BCD 又∵∠FCM=∠BCM， ∴∠M=∠FCM ∴CF=MF 又∵BD=DE ∴ ∴ME=BC ∴CF=MF=ME+EF=BC+AE 即AE+BC=CF； （2）当点E在线段的延长线上，是的角平分线时，BC=AE+CF， 如图②，延长，EF交于点M． 由①同理可证， ∴ME=BC 由①证明过程同理可得出MF=CF，AE=EF， ∴BC=ME=EF+MF=AE+CF； 当点E在线段的延长线上，是的外角平分线时，AE=CF+BC. 如图③，延长交EF于点M， 由上述证明过程易得，BC=EM， CF=FM， 又∵AB=BC， ∴∠ACB=∠CAB=∠FAE ∵ ∴∠F=∠FCB， ∴EF=AE， ∴AE=FE=FM+ME=CF+BC （3）CF=18或6 当DE=2AE=6时，图①中，由（1）得：AE=3，BC=AB=BD+DE+AE=15， ∴CF=AE+BC=3+15=18； 图②中，由（2）得：AE=AD=3，BC=AB=BD+AD=9， ∴CF=BC-AE=9-3=6； 图③中，DE小于AE，故不存在． 故答案为18或6． 【点睛】本题是考查了角平分线、平行线和等腰三角形及全等三角形的综合题，关键是添加恰当的辅助线，构建角平分线加平行的模型，是一道较好的中考真题．

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