题目

已知圆C:(x-1)2+y2=r2(r＞1)，设M为圆C与x轴负半轴的交点，过点M作圆C的弦MN，并使它的中点P恰好落在y轴上.（1）当r∈(1,+∞)时，求点N的轨迹E的方程；（2）若A(x1,2)、B(x2,y2)、C(x0,y0)是E上不同的点，且AB⊥BC，求y0的取值范围. 答案：解：(1)由条件知：M(-r+1,0),设P(0,b),N(x,y),则x=r-1.所以(r-1-1)2+y2=r2,即y2=4r-4=4x.所以点N的轨迹方程为y2=4x. (2)由(1)知A(1，2)，B(,y2),C(,y0),y0≠2,y0≠y2，则=(,y2-2),=(,y0-y2).又因为AB⊥BC,所以AB·BC=0,×+(y2-2)(y0-y2)=0，整理得y22+(y0+2)y2+16+2y0=0，则此方程有解，所以Δ=(y0+2)2-4×(16+2y0)≥0,解得y0≤-6或y0≥10， 当y0=-6时，B(4，2)，C(9，-6)，故符合条件;当y0=10时，B(9，-6)，C(25，10)，故符合条件.所以点C的纵坐标y0的取值范围是(-∞,-6］∪［10,+∞).

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