题目

设函数 （Ⅰ）证明其中为k为整数 （Ⅱ）设为的一个极值点，证明 （Ⅲ）设在（0,+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为，证明： 答案：（Ⅰ）同解析；（Ⅱ）同解析；（Ⅲ）同解析。 解析:（I）由于函数定义，对任意整数，有 （II）函数在R上可导，  ① 令，得： 若，则，这与矛盾，所以。 当时，  ② 由于函数的图象和函数的图象知，有解。 当时， （II）证明：由函数的图象和函数的图象知，对于任意整数，在开区间（，）内方程只有一个根， 当时，，当时， 而在区间（，）内，要么恒正，要么恒负 因此时的符号与时的符号相反 综合以上，得：的每一个根都是的极值点 ③ 由得，当时，，即对于时， ④ 综合 ③、④ ：对于任意 ， 由：和，得：  ⑤ 又：， 但时， ⑥ 综合 ⑤、⑥ 得：

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