题目

在直三棱柱ABC—A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,EB1=1,D、F、G分别是CC1、B1C1、A1C1的中点,EF与B1D相交于H.(1)求证:B1D⊥平面ABD;(2)求证:平面EFG∥平面ABD;(3)求平面EGF与平面ABD的距离. 答案：思路分析:“面面距离”可转化为“线面距离”或“点面距离”来解决. 解法一：(1)证明:由直三棱柱的性质可得,平面ABC⊥平面BB1C1C,又已知AB⊥BC,    ∴AB⊥平面BB1C1C.    又B1D平面BB1C1C,    ∴AB⊥B1D.    已知BC=CD=DC1=B1C1=2,    ∴在Rt△BCD与Rt△DC1B1中可求得∠BDC=∠B1DC1=45°,    ∴∠BDB1=90°,即B1D⊥BD.    又AB∩BD=B,    ∴B1D⊥平面ABD.     (2)证明:由题意易知EB1=B1F=1,    ∴在Rt△EB1F中,∠FEB1=45°.    又∠DBB1=45°,    ∴EF∥BD.    而BD平面ABD,EF平面ABD,    ∴EF∥平面ABD.    ∵G、F分别为A1C1、B1C1的中点,    ∴GF∥A1B1.    又A1B1∥AB,    则GF∥AB.    而AB平面ABD,GF平面ABD,    ∴GF∥平面ABD.    而EF平面EGF,GF平面EFG,EF∩GF=F,    ∴平面EGF∥平面ABD.     (3)解:∵B1D⊥平面ABD,平面EGF∥平面ABD,    ∴B1D⊥平面EGF.    则HD即为平行平面EGF与ABD之间的距离,    ∴HD=B1D-B1H=2-=. 解法二:以B为原点,BC所在直线为x轴,BA所在直线为y轴,BB1所在直线为z轴建立空间直角坐标系(如图所示),设AB=2a,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2a,0),D(2,0,2),E(0,0,3),F(1,0,4),G(1,a,4),B1(0,0,4).    于是=(2,0,-2),=(2,0,2),    =(2,-2a,2),=(1,0,1),=(0,a,0).    (1)证明:∵·=0, ·=0,    ∴B1D⊥BD,B1D⊥AD.    又BD∩AD=D,    ∴B1D⊥平面ABD.    (2)证明:∵·=0, ·=0,    ∴B1D⊥EF,B1D⊥FG.    ∴B1D⊥平面EFG.    由(1)得B1D⊥平面ABD,    故平面EFG∥平面ABD.    (3)解:由(1)得平面ABD的一个法向量为=(2,0,-2).又=(2,0,-1),    ∴d=    ==.    ∴平面EGF与平面ABD的距离为.讲评:两平行平面间的距离是指夹在两平行平面之间的公垂线段的长度,通常可转化为点到面的距离,即在某个平面内找一个特殊点,求该点到另一个面的距离;而点到面的距离有时也可看作某个棱锥的高,再利用等积法来求解. 

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