题目

已知对称中心为坐标原点的椭圆C1与抛物线C2：x2＝4y有一个相同的焦点F1，直线l：y＝2x＋m与抛物线C2只有一个公共点． (1)求直线l的方程； (2)若椭圆C1经过直线l上的点P，当椭圆C1的离心率取得最大值时，求椭圆C1的方程及点P的坐标．   答案：解　(1)由消去y，得x2－8x－4m＝0， ∵直线l与抛物线C2只有一个公共点， ∴Δ＝82＋4×4m＝0，解得m＝－4. ∴直线l的方程为y＝2x－4. (2)∵抛物线C2的焦点为F1(0,1)，依题意知椭圆C1的两个焦点的坐标为F1(0,1)，F2(0，－1) 设椭圆C1的方程为＋＝1(a>1)， 由消去y，得(5a2－4)x2－16(a2－1)x＋(a2－1)(16－a2)＝0.(*) 由Δ＝162(a2－1)2－4(5a2－4)(a2－1)(16－a2)≥0，得a4－4a2≥0(a2>0且a2－1>0)，解得a2≥4.∵a>1，∴a≥2，∴e＝≤. 当a＝2时，emax＝，此时椭圆C1的方程为＋＝1. 把a＝2代入方程(*)，解得x＝. 又y＝2x－4，∴y＝－1， ∴点P的坐标为.

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