题目

已知函数f(x)=(x≠-1).设数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)，数列{bn}满足bn=|an-|,Sn=b1+b2+…+bn(n∈N*).（1）用数学归纳法证明:bn≤;（2）证明:Sn＜. 答案：证明：(1)当x≥0时,f(x)=1+≥1.因为a1=1，所以an≥1(n∈N*)下面用数学归纳法证明不等式bn≤.（Ⅰ）当n=1时，b1=-1，不等式成立，（Ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即bk≤.那么bk+1=|ak+1-|=.所以，当n=k+1时，不等式也成立.根据（Ⅰ）和（Ⅱ），可知不等式对任意n∈N*都成立.（2）由（Ⅰ）知，bn≤.所以Sn=b1+b2+…+bn≤(-1)+=（-1）·.故对任意n∈N*,Sn＜.

查看本题答案和解析