题目

已知：关于x的方程mx2+(3m+1)x+3=0． （1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根； （2）如果该方程有两个不同的整数根，且m为正整数，求m的值； （3）在（2）的条件下，令y=mx2+(3m+1)x+3，如果当x1=a与x2=a+n（n≠0）时有y1=y2，求代数式4a2+12an+5n2+16n+8的值． 答案：解：（1）当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根 x=－3．…………1分 当m≠0时，原方程为一元二次方程． ∵△=(3m+1)2－12m=9m2－6m+1=(3m－1)2． ∵m≠0，∴不论m为任何实数时总有(3m－1)2≥0． ∴此时方程有两个实数根．………………………………………………2分 综上，不论m为任何实数时，方程 mx2+(3m+1)x+3=0总有实数根． （2）∵mx2+(3m+1)x+3=0． 解得 x1=－3，x2=． ………………………………………………3分 ∵方程mx2+(3m+1)x+3=0有两个不同的整数根，且m为正整数， ∴m=1．………………………………………………………………………5分 （3）∵m=1，y=mx2+(3m+1)x+3． ∴y=x2+4x+3． 又∵当x1=a与x2=a+n（n≠0）时有y1=y2， ∴当x1=a时，y1=a2+4a+3， 当x2=a+n时，y2=(a+n)2+4(a+n)+3． ∴a2+4a+3=(a+n)2+4(a+n)+3． 化简得 2an+n2+4n=0． 即 n(2a+n+4)=0． 又∵n≠0，∴2a=－n－4．   ∴ 4a2+12an+5n2+16n+8 =(2a)2+2a•6n+5n2+16n+8   =(n+4)2+6n(－n－4)+5n2+16n+8=24．

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