题目

已知：MN为⊙O的直径，OE为⊙O的半径，AB、CH是⊙O的两条弦，AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K，连接HN、HE，HE与MN交于点P． （1）如图1，若AB与CH交于点F，求证：∠HFB＝2∠EHN； （2）如图2，连接ME、OA，OA与ME交于点Q，若OA⊥ME，∠EON＝4∠CHN，求证：MP＝AB； （3）如图3，在（2）的条件下，连接OC、BC、AH，OC与EH交于点G，AH与MN交于点R，连接RG，若HK：ME＝2：3，BC＝，求RG的长． 答案：．解：（1）如图1，∵AB⊥OE于点D，CH⊥MN于点K ∴∠ODB＝∠OKC＝90° ∵∠ODB+∠DFK+∠OKC+∠EON＝360° ∴∠DFK+∠EON＝180° ∵∠DFK+∠HFB＝180° ∴∠HFB＝∠EON ∵∠EON＝2∠EHN ∴∠HFB＝2∠EHN （2）如图2，连接OB， ∵OA⊥ME， ∴∠AOM＝∠AOE ∵AB⊥OE ∴∠AOE＝∠BOE ∴∠AOM+∠AOE＝∠AOE+∠BOE， 即：∠MOE＝∠AOB ∴ME＝AB ∵∠EON＝4∠CHN，∠EON＝2∠EHN ∴∠EHN＝2∠CHN ∴∠EHC＝∠CHN ∵CH⊥MN ∴∠HPN＝∠HNM ∵∠HPN＝∠EPM，∠HNM＝HEM ∴∠EPM＝∠HEM ∴MP＝ME ∴MP＝AB （3）如图3，连接BC，过点A作AF⊥BC于F，过点A作AL⊥MN于L，连接AM，AC， 由（2）知：∠EHC＝∠CHN，∠AOM＝∠AOE ∴∠EOC＝∠CON ∵∠EOC+∠CON+∠AOM+∠AOE＝180° ∴∠AOE+∠EOC＝90°，∠AOM+∠CON＝90° ∵OA⊥ME，CH⊥MN ∴∠OQM＝∠OKC＝90°，CK＝HK，ME＝2MQ， ∴∠AOM+∠OMQ＝90° ∴∠CON＝∠OMQ ∵OC＝OA ∴△OCK≌△MOQ（AAS） ∴CK＝OQ＝HK ∵HK：ME＝2：3，即：OQ：2MQ＝2：3 ∴OQ：MQ＝4：3 ∴设OQ＝4k，MQ＝3k， 则OM＝＝＝5k，AB＝ME＝6k 在Rt△OAC中，AC＝＝＝5k ∵四边形ABCH内接于⊙O，∠AHC＝∠AOC＝×90°＝45°， ∴∠ABC＝180°﹣∠AHC＝180°﹣45°＝135°， ∴∠ABF＝180°﹣∠ABC＝180°﹣135°＝45° ∴AF＝BF＝AB•cos∠ABF＝6k•cos45°＝3k 在Rt△ACF中，AF2+CF2＝AC2 即：，解得：k1＝1，（不符合题意，舍去） ∴OQ＝HK＝4，MQ＝OK＝3，OM＝ON＝5 ∴KN＝KP＝2，OP＝ON﹣KN﹣KP＝5﹣2﹣2＝1， 在△HKR中，∠HKR＝90°，∠RHK＝45°， ∴＝tan∠RHK＝tan45°＝1 ∴RK＝HK＝4 ∴OR＝RN﹣ON＝4+2﹣5＝1 ∵∠CON＝∠OMQ ∴OC∥ME ∴∠PGO＝∠HEM ∵∠EPM＝∠HEM ∴∠PGO＝∠EPM ∴OG＝OP＝OR＝1 ∴∠PGR＝90° 在Rt△HPK中，PH＝＝＝2 ∵∠POG＝∠PHN，∠OPG＝∠HPN ∴△POG∽△PHN ∴，即，PG＝ ∴RG＝＝＝．

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