题目

如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB． （1）试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由； （2）试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由； （3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积．（结果保留π） 　 答案：【考点】切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理． 【专题】几何综合题；压轴题． 【分析】（1）只要证明OE垂直BC即可得出BC是小圆的切线，即与小圆的关系是相切． （2）利用全等三角形的判定得出Rt△OAD≌Rt△OEB，从而得出EB=AD，从而得到三者的关系是前两者的和等于第三者． （3）根据大圆的面积减去小圆的面积即可得到圆环的面积． 【解答】解：（1）BC所在直线与小圆相切． 理由如下： 过圆心O作OE⊥BC，垂足为E； ∵AC是小圆的切线，AB经过圆心O， ∴OA⊥AC； 又∵CO平分∠ACB，OE⊥BC， ∴OE=OA， ∴BC所在直线是小圆的切线． （2）AC+AD=BC． 理由如下： 连接OD． ∵AC切小圆O于点A，BC切小圆O于点E， ∴CE=CA； ∵在Rt△OAD与Rt△OEB中，， ∴Rt△OAD≌Rt△OEB（HL）， ∴EB=AD； ∵BC=CE+EB， ∴BC=AC+AD． （3）∵∠BAC=90°，AB=8cm，BC=10cm， ∴AC=6cm； ∵BC=AC+AD， ∴AD=BC﹣AC=4cm， ∵圆环的面积为：S=π（OD）2﹣π（OA）2=π（OD2﹣OA2）， 又∵OD2﹣OA2=AD2， ∴S=42π=16π（cm2）． 【点评】此题考查了学生对切线的性质与判定，全等三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用能力． 　

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