题目

已知幂函数f(x)=x（m∈Z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数. （1）求函数f(x); （2）讨论F（x）=a的奇偶性. 答案：（1）f(x)=x-4.（2）①当a≠0，且b≠0时，F（x）为非奇非偶函数；②当a=0,b≠0时，F（x）为奇函数； ③当a≠0,b=0时，F（x）为偶函数；④当a=0,b=0时，F（x）既是奇函数，又是偶函数.   解析:（1）∵f（x）是偶函数，∴m2-2m-3应为偶数.                         2分 又∵f（x）在(0，+∞)上是单调减函数， ∴m2-2m-3＜0,∴-1＜m＜3.                                               4分 又m∈Z，∴m=0，1，2. 当m=0或2时，m2-2m-3=-3不是偶数，舍去；                              6分 当m=1时，m2-2m-3=-4; ∴m=1,即f(x)=x-4.                                               8分 （2）F（x）=， ∴F（-x）=+bx3.                                      10分 ①当a≠0，且b≠0时，F（x）为非奇非偶函数； ②当a=0,b≠0时，F（x）为奇函数；                                  12分 ③当a≠0,b=0时，F（x）为偶函数； ④当a=0,b=0时，F（x）既是奇函数，又是偶函数.                   14分 题型】解答题

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