题目

（18）如图，在多面体ABCD—A1B1C1D1中，上、下底面平行且均为矩形，相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等，侧棱延长后相交于E，F两点，上、下底面矩形的长、宽分别为c，d与a，b，且a＞c，b＞d，两底面间的距离为h.         （Ⅰ）求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的大小；（Ⅱ）证明：EF∥面ABCD；（Ⅲ）在估测该多面体的体积时，经常运用近似公式      V估=S中截面·h来计算.已知它的体积公式是          V=（S上底面+4S中截面+S下底面），试判      断V估与V的大小关系，并加以证明.（注：与两个底面平行，且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.） 答案：（18）本小题主要考查直线、平面的位置关系，考查不等式的基本知识，   考查空间想象能力和逻辑能力.           （Ⅰ）解：过B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B1作B1G⊥PQ，垂足为G. ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°， ∴AB⊥PQ，AB⊥B1P. ∴∠B1PG为所求二面角的平面角. 过C1作C1H⊥PQ，垂足为H. 由于相对侧面与底面所成二面角大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形.∴PG=（b－d）， 又B1G=h， ∴tanB1PG=（b＞d）, ∴∠B1PG=arctan， 即所求二面角的大小为为arcot. （Ⅱ）证明：∵AB、CD是矩形ABCD的一组对边，有AB∥CD，又CD是面ABCD与面CDEF的交线，∴AB∥面CDEF.∵EF是面ABFE与面CDEF的交线，∴AB∥EF.∵AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外，∴EF∥面ABC（D） （Ⅲ）V估＜V      证明：∵a＞c，b＞d   ∴V－V估=（cd+ab+4··）－·h          =［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］         =（a－c）（b－d）＞0      ∴V估＜V.

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