题目

已知四棱锥P－ABCD(图1)的三视图如图2所示，△PBC为正三角形，PA垂直底面ABCD，俯视图是直角梯形． (1)求正视图的面积； (2)求四棱锥P－ABCD的体积； (3)求证：AC⊥平面PAB. 答案：解　(1)过A作AE∥CD，根据三视图可知，E是BC的中点，且BE＝CE＝1，AE＝CD＝1. 又∵△PBC为正三角形， ∴BC＝PB＝PC＝2，且PE⊥BC， ∴PE2＝PC2－CE2＝3. ∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE. ∴PA2＝PE2－AE2＝2，即PA＝. 正视图的面积为S＝×2×＝. (2)由(1)可知，四棱锥P－ABCD的高PA＝，底面积为 ∴四棱锥P－ABCD的体积为VP－ABCD＝S·PA＝××＝. (3)证明：∵PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PA⊥AC. ∵在直角三角形ABE中，AB2＝AE2＋BE2＝2， 在直角三角形ADC中，AC2＝AD2＋CD2＝2， ∴BC2＝AA2＋AC2＝4，∴△BAC是直角三角形． ∴AC⊥AB. 又∵AB∩PA＝A，∴AC⊥平面PAB.

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