题目

设两非零向量e1和e2不共线.(1)如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3(e1-e2),求证：A、B、D三点共线;(2)试确定实数k,使ke1+e2和e1+ke2共线. 答案：思路分析：要证明A、B、D三点共线,需证存在λ,使=λ(e1+e2)即可.而若ke1+e2和e1+ke2共线,则一定存在λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2).(1)证明：∵=e1+e2,=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5,∴、共线.又有公共点B,∴A、B、C三点共线.(2)解：∵ke1+e2和e1+ke2共线,∴存在λ,使ke1+e2=λ(e1+ke2),则(k-λ)e1=(λk-1)e2.由于e1与e2不共线,只能有k-λ=0,λk-1=0.则k=±1.方法归纳 本题是两个向量共线的充要条件的应用,只需根据以其中某一点为起点,以另外两点为终点的向量a、b共线,存在实数λ使得a=λb(b≠0),然后利用待定系数法确定参数值.深化升华 由平面向量共线定理可以得到以下两条常用的性质：(1)设e1、e2是两个不共线的向量,若me1+ne2=se1+te2(m、n、s、t为实数),则有(2)设e1、e2是两个不共线的向量,若me1=ne2,则有m=n=0.

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