题目

已知定义在R的函数． （1）判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由； （2）解关于x的不等式：f（x﹣1）＞f（2x+1）． 　 答案：【考点】奇偶性与单调性的综合． 【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用． 【分析】（1）根据函数奇偶性和单调性的定义即可判断f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由； （2）根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式：f（x﹣1）＞f（2x+1）进行转化求解即可． 【解答】解：（1）f（﹣x）=a﹣x+=ax+=f（x）， 则函数为偶函数， 当x≥0时，设0≤x1＜x2， 即f（x1）﹣f（x2）=+﹣﹣=﹣+﹣=（﹣）+=（﹣）•， ∵a＞1，0≤x1＜x2 ∴1≤＜， 则﹣＜0，•﹣1＞0， 则f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x1）＜f（x2），即此时函数单调递增， 同理当x≤0时，函数单调递减； （2）∵函数f（x）是偶函数，且在[0，+∞）上为增函数， 则关于x的不等式：f（x﹣1）＞f（2x+1）等价为f（|x﹣1|）＞f（|2x+1|）， 即|x﹣1|＞|2x+1|， 平方得x2﹣2x+1＞4x2+4x+1， 即3x2+6x＜0，即x2+2x＜0，得﹣2＜x＜0， 即不等式的解集为（﹣2，0）． 【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和证明，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键． 　

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