题目

如图，已知二次函数y=ax2＋bx＋c的象经过A(－1，0)、B(3，0)、N(2，3)三点，且与y轴交于点C. (1)求这个二次函数的解析式，并写出顶点M及点C的坐标； (2)若直线y=kx＋d经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形； (3)点P是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.   答案：解：（1）因为二次函数的图象经过点 所以，可建立方程组： 解得： 所以，所求二次函数的解析式为 所以，顶点M（1，4），点C（0，3）。…………………………3分 （2）直线y=kx+d经过C、M两点， 所以 即k=1，d=3  直线解析式为y=x+3 令y=0，得x=-3，故D（-3，0）  ∴ CD=AN=，AD=2，CN=2  ∴CD=AN ，AD=CN ∴ 四边形CDAN是平行四边形。……………………………………5分 （3）假设存在这样的点P，使以点P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，因为这个二次函数的对称轴是直线x=1，故可设P（1，）， 则PA是圆的半径且 过P做直线CD的垂线，垂足为Q， 则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切。 由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形， 故△PQM也是等腰直角三角形，  由P（1，）得PE=，PM=|4-|，PQ= 由得方程：，解得，符合题意， 所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1，）或（1，）。

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