题目

如果抛物线y=ax2－1上总有关于直线x+y=0对称的相异两点，试求a的范围. 答案：解法一:设抛物线y=ax2－1上关于x+y=0对称的相异两点坐标为A(x0,y0)、B(－y0,－x0). ∵两点都在抛物线上，∴ ①－②，得y0+x0=a(x02－y02).∵x0+y0≠0,∴x0=.                                                                   ③③代入②，得a2y02+ay0+1－a=0.∵y0∈R,且(x0,y0),(－y0,－x0)相异，∴Δ=a2－4a2(1－a)＞0.∴a＞.∴a的取值范围是(，+∞).解法二:设抛物线上关于直线x+y=0对称的两点所在直线方程为y=x+b,代入y=ax2－1,得ax2－x－b－1=0.∵x∈R,且两点为相异两点，∴Δ=1+4a(b+1)＞0,即4ab+4a+1＞0.                                                                                ①设两对称点为A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1+x2=,y1+y2=+2b.又∵+=0,∴++b=0,即b=－.                                                                      ②②代入①，得a＞.∴a的取值范围是(，+∞).

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