题目

如图，在平面直角坐标系中，点A（0，6），点B是x轴上的一个动点，连结AB，取AB的中点M，将线段MB绕着点B按顺时针方向旋转90o，得到线段BC.过点B作x轴的垂线交直线AC于点D.设点B坐标是（t，0）. （1）当t=4时，求直线AB的解析式；（2）当t>0时，用含t的代数式表示点C的坐标及△ABC的面积；（3）是否存在点B,使△ABD为等腰三角形?若存在，请求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由. 答案：解：（1）当t=4时，B(4,0) 设直线AB的解析式为y= kx+b . 把 A(0,6)，B(4,0) 代入得： , 解得： , ∴直线AB的解析式为：y=－x+6. (2) 过点C作CE⊥x轴于点E 由∠AOB=∠CEB=90°，∠ABO=∠BCE，得△AOB∽△BEC. ∴， ∴BE= AO=3，CE= OB= ， ∴点C的坐标为(t+3，). 方法一： S梯形AOEC= OE・(AO+EC)= (t+3)(6+)=t2+t+9， S△ AOB= AO・OB= ×6・t=3t， S△ BEC= BE・CE= ×3×= t， ∴S△ ABC= S梯形AOEC－ S△ AOB－S△ BEC = t2+t+9－3t－t = t2+9. 方法二： ∵AB⊥BC，AB=2BC，∴S△ ABC= AB・BC= BC2. 在Rt△ABC中，BC2= CE2+ BE2 = t2+9，即S△ ABC= t2+9. (3)存在，理由如下： ①当t≥0时. Ⅰ.若AD＝BD. 又∵BD∥y轴 ∴∠OAB=∠ABD，∠BAD=∠ABD， ∴∠OAB=∠BAD. 又∵∠AOB=∠ABC， ∴△ABO∽△ACB， ∴， ∴= ， ∴t=3，即B(3，0). Ⅱ.若AB＝AD. 延长AB与CE交于点G，又∵BD∥CG ∴AG＝AC 过点A画AH⊥CG于H． ∴CH＝HG＝CG 由△AOB∽△GEB，得＝， ∴GE= . 又∵HE＝AO＝６，CE＝ ∴＋６＝×（＋） ∴t2-24t-36=0 解得：t=12±6. 因为 t≥0，所以t=12＋6，即B(12＋6，0). Ⅲ.由已知条件可知，当0≤t<12时，∠ADB为钝角，故BD ≠ AB. 当t≥12时，BD≤CE<BC<AB. ∴当t≥0时，不存在BD＝AB的情况. ②当－3≤t<0时，如图，∠DAB是钝角. 设AD=AB，过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F. 可求得点C的坐标为(t+3，)， ∴CF=OE=t+3，AF=6－，由BD∥y轴，AB=AD得， ∠BAO=∠ABD，∠FAC=∠BDA，∠ABD=∠ADB ∴∠BAO=∠FAC，又∵∠AOB=∠AFC=90°， ∴△AOB∽△AFC， ∴ ， ∴， ∴t2-24t-36=0 解得：t=12±6.因为－3≤t<0，所以t=12－6，即B (12－6，0). ③当t<－3时，如图， ∠ABD是钝角.设AB=BD，过点C分别作CE⊥x轴，CF⊥y轴于点E，点F，可求得点C的坐标为(t+3，)， ∴CF= －(t+3)，AF=6－， ∵AB=BD， ∴∠D=∠BAD. 又∵BD∥y轴， ∴∠D=∠CAF， ∴∠BAC=∠CAF. 又∵∠ABC=∠AFC=90°，AC=AC， ∴△ABC≌△AFC， ∴AF＝AB，CF=BC， ∴AF=2CF，即6－ =－2(t+3)，解得：t=－8，即B(－8，0). 综上所述，存在点B使△ABD为等腰三角形，此时点B坐标为： B1 (3，0)，B2 (12＋6，0)，B3 (12－6，0)，B4(－8，0).

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