题目

情境观察  将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到△ABC和△A′C′D，如图1所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A(A′)、B在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC相等的线段是        ，∠CAC′=          °．问题探究  如图3，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q. 试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.拓展延伸  如图4，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H. 若AB= k AE，AC= kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.                                                                                    答案：情境观察AD（或A′D），90  ………2分问题探究结论：EP=FQ.  ……………………………3分证明：∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB=AE，∠BAE=90°.∴∠BAG+∠EAP=90°.∵AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵EP⊥AG，∴∠AGB=∠EPA=90°，∴Rt△ABG≌Rt△EAP.∴AG=EP.同理AG=FQ. ∴EP=FQ. …………………………………7分拓展延伸结论：HE=HF.  ……………………………8分理由：过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q.∵四边形ABME是矩形，∴∠BAE=90°，∴∠BAG+∠EAP=90°.AG⊥BC，∴∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABG=∠EAP.∵∠AGB=∠EPA=90°，∴△ABG∽△EAP，∴ = . 同理△ACG∽△FAQ，∴ =.∵AB= k AE，AC= k AF，∴ = = k，∴ .∴EP=FQ. ∵∠EHP=∠FHQ，∴Rt△EPH≌Rt△FQH.∴HE=HF …………………12分解析:①观察图形即可发现△ABC≌△AC′D，即可解题；②易证△AEP≌△BAG，△AFQ≌△CAG，即可求得EP=AG，FQ=AG，即可解题；③过点E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分别为P、Q．根据全等三角形的判定和性质即可解题． 

查看本题答案和解析