题目

已知点M(-2，0)、N(2，0)，动点P满足条件|PM|-|PN|=22.记动点P的轨迹为W. (1)求W的方程；(2)若A、B是W上的不同两点，O是坐标原点，求·的最小值. 答案：解：（1）由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M、N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a=.又半焦距c=2,故虚半轴长b=所以W的方程为=1,x≥.(2)设A、B坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).当AB⊥x轴时，x1=x2,y1=-y2.从而·=x1x2+y1y2=x-y=2.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，与W的方程联立，消去y得（1-k2)x2-2kmx-m2-2=0.故x1+x2=，x1x2=.所以·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=又因为x1x2＞0，所以k2-1＞0，从而·＞2.综上，当AB⊥x轴时，·取得最小值2.

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