题目

已知函数f（x）=x2﹣2x+alnx（a∈R）． （Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），不等式f（x1）≥mx2恒成立，求实数m的取值范围． 答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【分析】（Ⅰ）求当a=2时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程； （Ⅱ）求出f（x）的导数，令f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，对判别式讨论，即当时，当时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间； （Ⅲ）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，由（Ⅱ）可得，不等式f（x1）≥mx2恒成立即为≥m，求得=1﹣x1++2x1lnx1，令h（x）=1﹣x++2xlnx（0＜x＜），求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的范围，即可求得m的范围． 【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x2﹣2x+2lnx，， 则f（1）=﹣1，f'（1）=2， 所以切线方程为y+1=2（x﹣1）， 即为y=2x﹣3． （Ⅱ）（x＞0）， 令f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0， （1）当△=4﹣8a≤0，即时，f'（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； （2）当△=4﹣8a＞0且a＞0，即时，由2x2﹣2x+a=0，得， 由f'（x）＞0，得或； 由f'（x）＜0，得． 综上，当时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）； 当时，f（x）的单调递增区间是，； 单调递减区间是． （Ⅲ）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，由（Ⅱ）可得， 由f'（x）=0，得2x2﹣2x+a=0，则x1+x2=1，，， 由，可得，， ==1﹣x1++2x1lnx1， 令h（x）=1﹣x++2xlnx（0＜x＜），h′（x）=﹣1﹣+2lnx， 由0＜x＜，则﹣1＜x﹣1＜﹣，＜（x﹣1）2＜1，﹣4＜﹣＜﹣1， 又2lnx＜0，则h′（x）＜0，即h（x）在（0，）递减， 即有h（x）＞h（）=﹣﹣ln2，即＞﹣﹣ln2， 即有实数m的取值范围为（﹣∞，﹣﹣ln2]．

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