题目
(本小题满分12分)如图,四棱锥S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是地面边长的倍,P为侧棱SD上的点。 (Ⅰ)求证:AC⊥SD; (Ⅱ)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大小(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E, 使得BE∥平面PAC。若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由。
答案:解析:解法一: (Ⅰ)连BD,设AC交BD于O,由题意。在正方形ABCD中,,所以,得. (Ⅱ)设正方形边长,则。又,所以, 连,由(Ⅰ)知,所以, 且,所以是二面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大小为。 (Ⅲ)在棱SC上存在一点E,使由(Ⅱ)可得,故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知,又由于,故平面,得,由于,故.解法二: (Ⅰ);连,设交于于,由题意知.以O为坐标原点,分别为轴、轴、轴正方向,建立坐标系如图。 设底面边长为,则高。 于是 故 从而 (Ⅱ)由题设知,平面的一个法向量,平面的一个法向量,设所求二面角为,则,所求二面角的大小为 (Ⅲ)在棱上存在一点使. 由(Ⅱ)知是平面的一个法向量, 且 设 则 而 即当时, 而不在平面内,故