题目

（本小题满分12分）如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的倍，P为侧棱SD上的点。                                                                                  （Ⅰ）求证：AC⊥SD；        （Ⅱ）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，        使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。 答案：解析：解法一：     （Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意。在正方形ABCD中，，所以,得.      (Ⅱ)设正方形边长，则。又，所以,      连，由（Ⅰ）知,所以,      且,所以是二面角的平面角。由,知,所以,即二面角的大小为。  （Ⅲ）在棱SC上存在一点E，使由（Ⅱ）可得，故可在上取一点,使,过作的平行线与的交点即为。连BN。在中知，又由于,故平面，得,由于,故.解法二：     （Ⅰ）；连,设交于于，由题意知.以O为坐标原点，分别为轴、轴、轴正方向，建立坐标系如图。   设底面边长为，则高。   于是                                                               故     从而         (Ⅱ)由题设知，平面的一个法向量，平面的一个法向量，设所求二面角为，则,所求二面角的大小为     （Ⅲ）在棱上存在一点使.      由（Ⅱ）知是平面的一个法向量，    且   设           则      而       即当时，        而不在平面内，故

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