题目

如图,在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2, PD=,∠PAB=60°.(1)证明AD⊥平面PAB;(2)求异面直线PC与AD所成的角的大小;(3)求二面角P-BD-A的大小. 答案：答案：本小题主要考查直线和平面垂直、异面直线所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.(1)证明:在△PAD中,由题设PA=2,AD=2,PD=,可得PA2+AD2=PD2,于是AD⊥PA.在矩形ABCD中,AD⊥AB.又PA∩AB=A,所以AD⊥平面PAB.(2)解:由题设,BC∥AD,所以∠PCB(或其补角)是异面直线PC与AD所成的角.在△PAB中,由余弦定理得PB=.由(1)知AD⊥平面PAB,PB平面PAB,所以AD⊥PB,因而BC⊥PB,于是△PBC是直角三角形,故tan∠PCB=.所以异面直线PC与AD所成的角的大小为arctan.(3)解:过点P作PH⊥AB于H,过点H作HE⊥BD于E,连结PE.因为AD⊥平面PAB,PH平面PAB,所以AD⊥PH.又AD∩AB=A,因而PH⊥平面ABCD.故HE为PE在平面ABCD内的射影.由三垂线定理可知,BD⊥PE.从而∠PEH是二面角P-BD-A的平面角.由题设可得,PH=PA·sin60°=,AH=PA·cos60°=1,BH=AB-AH=2,BD==,HE=·BH=.于是在Rt△PHE中,tan∠PEH==.所以二面角PBDA的大小为arctan.

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