题目

．如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1B1C1的位置，AB与A1C1相交于点D，AC与A1C1、BC1分别交于点E、F． （1）求证：△BCF≌△BA1D． （2）当∠C=α度时，判定四边形A1BCE的形状并说明理由． 　 答案：【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=∠C，由旋转的性质得到A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D； （2）由旋转的性质得到∠A1=∠A，根据平角的定义得到∠DEC=180°﹣α，根据四边形的内角和得到∠ABC=360°﹣∠A1﹣∠C﹣∠A1EC=180°﹣α，证得四边形A1BCE是平行四边形，由于A1B=BC，即可得到四边形A1BCE是菱形． 【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形， ∴AB=BC，∠A=∠C， ∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1B1C1的位置， ∴A1B=AB=BC，∠A=∠A1=∠C，∠A1BD=∠CBC1， 在△BCF与△BA1D中， ， ∴△BCF≌△BA1D； （2）解：四边形A1BCE是菱形， ∵将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△A1B1C1的位置， ∴∠A1=∠A， ∵∠ADE=∠A1DB， ∴∠AED=∠A1BD=α， ∴∠DEC=180°﹣α， ∵∠C=α， ∴∠A1=α， ∴∠ABC=360°﹣∠A1﹣∠C﹣∠A1EC=180°﹣α， ∴∠A1=∠C，∠A1BC=∠AEC， ∴四边形A1BCE是平行四边形， ∴A1B=BC， ∴四边形A1BCE是菱形．

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