题目

     若数列同时满足：对于任意的正整数，恒成立；对于给定的正整数，对于任意的正整数（）恒成立，则称数列是“数列”. （1）已知判断数列是否为“数列”，并说明理由； （2）已知数列是“数列”，且存在整数（），使得，，，成等差数列，证明：是等差数列. 答案：（1）当为奇数时，，所以. . 当为偶数时，，所以. . 所以，数列是“数列”. （2）由题意可得：， 则数列，，,…是等差数列，设其公差为， 数列，，,…是等差数列，设其公差为， 数列，，,…是等差数列，设其公差为. 因为，所以， 所以， 所以 ①， ②. 若，则时，①不成立； 若，则时，②不成立； 若，则①和②都成立，所以. 同理得：，所以，记. 设， 则 . 同理可得：，所以， 所以是等差数列.

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