题目

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA. (1)求证：平面EFG⊥平面PDC； (2)求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比． 答案：　(1)证明：∵MA⊥平面ABCD，PD∥MA， ∴PD⊥平面ABCD， 又BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC， ∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC. ∵PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC. 在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点， ∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC. 又GF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC. (2)不妨设MA＝1，∵四边形ABCD为正方形，∴PD＝AD＝2， 又∵PD⊥平面ABCD， 所以VP－ABCD＝S正方形ABCD·PD＝. ∵MA⊥平面ABCD，∴MA⊥AD， 又ABCD为正方形，∴BC⊥AD，∴AD⊥平面MAB， 又PD∥MA，所以DA即为点P到平面MAB的距离， 三棱锥VP－MAB＝××2＝. 所以VP－MABVP－ABCD＝14.

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