题目

已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，其渐近线与圆x2＋y2－10x＋20＝0相切．过点P(－4,0)作斜率为的直线l，交双曲线左支于A、B两点，交y轴于点C，且满足|PA|·|PB|＝|PC|2. (1)求双曲线的标准方程； (2)设点M为双曲线上一动点，点N为圆x2＋(y－2)2＝上一动点，求|MN|的取值范围． 答案：　(1)设双曲线的渐近线方程为y＝kx， 因为渐近线与圆(x－5)2＋y2＝5相切， 则＝，即k＝±， 所以双曲线的渐近线方程为y＝±x. 设双曲线方程为x2－4y2＝m，将y＝(x＋4)代入双曲线方程中整理得，3x2＋56x＋112＋4m＝0. 所以xA＋xB＝－，xAxB＝. 因为|PA|·|PB|＝|PC|2，点P、A、B、C共线，且点P在线段AB上，则(xP－xA)(xB－xP)＝(xP－xC)2，即(xB＋4)(－4－xA)＝16. 所以4(xA＋xB)＋xAxB＋32＝0. 于是4·(－)＋＋32＝0，解得m＝4. 故双曲线方程是x2－4y2＝4，即－y2＝1. (2)设点M(x，y)，圆x2＋(y－2)2＝的圆心为D，则x2－4y2＝4，点D(0,2)． 所以|MD|2＝x2＋(y－2)2＝4y2＋4＋(y－2)2 ＝5y2－4y＋8＝5(y－)2＋≥. 所以|MD|≥， 从而|MN|≥|MD|－≥. 故|MN|的取值范围是[，＋∞)．

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