题目

素材1：仪器价格P定在215元时，仪器厂的供应量S为3 425台.仪器价格P每提高40元，仪器厂就多生产并增加供应280台.素材2：销售收入=价格×销售量.素材3：仪器价格P为200元时，需求量Q为3 000台.仪器价格P每提高20元，需求量Q就减少500台.先将上面的素材构建成一个问题，然后再解答.构建问题：某电子仪器厂打算生产某种仪器，经市场调查，当该仪器价格P为200元时，需求量Q为3 000台.若该仪器价格P每提高20元，需求量Q就减少500台；当仪器价格P定在215元时，仪器厂的供应量S为3 425台. 仪器价格P每提高40元，仪器厂就多生产并增加供应280台.试问：（1）价格P为多少时，销售收入R最多？（销售收入=价格×销售量）（2）需求量Q为多少时，达到供求平衡？（指供应量=需求量）此时销售收入是多少？ 答案：解析：（1）依题意，销售量即需求量Q是价格P的一次函数，其图象是斜率为负的直线.由点斜式，得    Q-3 000=（P-200）,即Q=-25P+8 000（0＜P＜320），如图中的l1,∴R=P·Q=P·（-25P+8 000）=-25（P-160）2+640 000.又∵160∈(0,320),∴当P=160时，R有最大值640 000.故价格为160元时，销售收入最多为640 000元.（2）供应量S也是价格的一次函数，其图象是斜率为正的直线，由点斜式，得S-3 425=（P-215），即S=7P+1 920.如图中的l2，∵ 供求平衡，∴S=7P+1 920=-25P+8 000=Q.∴ P=190，此时Q=3 250，R=P·Q=617 500.故需求量为3 250台时，达到供求平衡，此时销售收入为617 500元.温馨提示    这是一道供求问题，本题已给出有关量的关系式，解本题的突破点是依据提供的信息，建立供应量S或需求量Q是价格P的一次函数的数学模型，并联系二次函数求最值等知识解题.

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