题目

函数f(x)＝x2(0<x<1)的图象如图，其在点M(t，f(t))处的切线为l，l与x轴和x＝1分别交于P、Q，点N(1,0)，设△PQN的面积S＝g(t)． (1)求g(t)的表达式； (2)若g(t)在区间(m，n)上单调递增，求n的最大值； (3)若△PQN的面积为b时的点M恰有两个，求b的取值范围． 答案： (1)设点M(t，t2)，由f(x)＝x2(0<x<1)，得f′(x)＝2x， ∴过点M的切线PQ的斜率k＝2t. ∴切线PQ的方程为y＝2tx－t2. 取y＝0，得x＝，取x＝1，得y＝2t－t2， ∴P(，0)，Q(1,2t－t2)， ∴S＝g(t)＝(1－)(2t－t2)＝t3－t2＋t. (2)由(1)得，g(t)＝(t3－4t2＋4t)， 则g′(t)＝(3t2－8t＋4)， 由g′(t)＝0，解得t1＝，t2＝2(舍)． ∴当t∈(0，)时，g′(t)>0，g(t)为增函数． 当t∈(，1)时，g′(t)<0，g(t)为减函数． ∵g(t)在区间(m，n)上单调递增， ∴n的最大值为. (3)当t＝时，g(t)有极大值，也就是(0,1)上的最大值为. 又g(0)＝0，g(1)＝. ∴要使△PQN的面积为b时点M恰好有两个， 即<S<. ∴b的取值范围为(，)．

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