题目

如图，已知直线y＝－3x＋c与x轴相交于点A(1，0)，与y轴相交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，B，与x轴的另一个交点是C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是对称轴的左侧抛物线上的一点，当S△PAB＝2S△AOB时，求点P的坐标； (3)连接BC，抛物线上是否存在点M，使∠MCB＝∠ABO？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：解：(1)将A(1，0)代入y＝－3x＋c中，得－3＋c＝0，解得c＝3. ∴y＝－3x＋3，B(0，3)． 将A(1，0)，B(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c中，得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3. (2)连接OP，如解图1所示． 抛物线的对称轴为直线x＝－＝－1. 设P(m，－m2－2m＋3)(m＜－1)． ∵S△PAB＝S△POB＋S△AOB－S△POA，S△PAB＝2S△AOB， ∴S△POB－S△POA＝S△AOB． ①当P点在x轴的上方时， ×3×(－m)－×1×(－m2－2m＋3)＝×1×3， 解得m1＝－2，m2＝3(舍去)． 此时P点的坐标为(－2，3)． ②当P点在x轴的下方时， ×3×(－m)－×1×(m2＋2m－3)＝×1×3， 解得m1＝－5，m2＝0(舍去)． 此时P点的坐标为(－5，－12)． 综上所述，P点的坐标为(－2，3)或(－5，－12)． (3)存在点M，使∠MCB＝∠ABO，点M的坐标为(，)或(－，)． 【提示】 在y＝－x2－2x＋3中，令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝－3，∴C(－3，0)．∵OC＝OB＝3，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，BC＝3.①当∠MCB在直线BC的下方时，如解图2所示．设直线CM交y轴于点D，作DE⊥BC于点E，设D(0，t)，则BD＝3－t.∵∠DBE＝45°，∴△BDE为等腰直角三角形，∴DE＝BE＝BD＝(3－t)．∵∠MCB＝∠ABO，tan∠MCB＝，tan∠ABO＝，∴＝＝，即CE＝3DE，∴3－(3－t)＝3×(3－t)，解得t＝，∴D(0，)，∴直线CD的解析式为y＝x＋.联立舍去)，此时M点的坐标为(，)．②当∠MCB在直线BC的上方时，如解图3所示，设CM交直线AB于点N，过点N作NP⊥x轴于点P.易得直线AB的解析式为y＝－3x＋3，AB＝.设N(k，－3k＋3)．∵∠MCB＝∠ABO，∠CBO＝∠OCB，∴∠NCA＝∠ABC．又∵∠BAC＝∠CAN，∴△ABC∽△ACN，∴＝，即＝，∴AN＝.在Rt△NPA中，由勾股定理，得(k－1)2＋(－3k＋3)2＝()2，解得k1＝(舍去)，k2＝－.∴N点的坐标为(－，)，∴直线CN的解析式为y＝2x＋6.联立解得 (舍去)，此时M点的坐标为(－1，4)． 综上所述，存在点M，使∠MCB＝∠ABO，点M的坐标为(，)或(－1，4)． 　　

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