题目

如图，在中，，，以AB为直径的半圆O交AC于点D，点E是上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G． （1）求证：； （2）填空： ①若，且点E是的中点，则DF的长为　   　； ②取的中点H，当的度数为　   　时，四边形OBEH为菱形． 答案：（1）见解析（2）①②30° 【分析】 （1）利用直径所对的圆周角是直角，可得，再应用同角的余角相等可得，易得，得证； （2）作，应用等弧所对的圆周角相等得，再应用角平分线性质可得结论；由菱形的性质可得，结合三角函数特殊值可得． 【详解】 解：（1）证明：如图1，，， AB是的直径， ， ； （2）①如图2，过F作于H，点E是的中点， ， ， ，即 ， ，即， 故答案为． ②连接OE，EH，点H是的中点， ， 四边形OBEH为菱形， ． 故答案为 【点睛】 本题主要考查了圆的性质，垂径定理，等腰直角三角形的性质，菱形的性质，解直角三角形，特殊角的三角函数值等，关键在灵活应用性质定理．

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